利用周期性，把$Z$展开写作 $$ Z(\beta)=\sum_{\omega\in\mathcal{S}} T_{\omega_1 \ \omega_2}T_{\omega_2 \ \omega_3}...T_{\omega_{N-1} \ \omega_N}T_{\omega_N \ \omega_1},\tag{*} $$ 其中 $$ T_{\omega_i\ \omega_{i+1}}:= \exp{} \left[ \beta\left( \frac{1}{2}h\omega_i+J\omega_i\omega_{i+1}+\frac{1}{2}h\omega_{i+1}\right) \right], \ i\in\Omega. $$ 那么每个$T_{\omega_i\ \omega_{i+1}}$都有$4$种状态$T_{++}, T_{+-}, T_{-+}, T{--}$, 我们用一个二阶实对称矩阵 $$ T:= \begin{pmatrix} T_{++} & T_{+-}\\ T_{-+} & T_{--} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{\beta(J+h)} & e^{-\beta J}\\ e^{-\beta J} & e^{\beta(J-h)} \end{pmatrix} $$ 来记住这些状态，$T$称为转移矩阵(transfer matrix, 这个名字来自于概率论的Markov链). 注意这里我们使用$+,-$而不是数字来标记矩阵的行和列.

一个关键的观察在于如果在$(*)$中固定$\omega$的$N-1$个分量——不妨设$\omega_2$为唯一变量，则 $$ \sum_{\omega_2\in \{1,-1\}} T_{\omega_1\ \omega_2}T_{\omega_2\ \omega_3} $$ 就是转移矩阵的乘积$(T\circ T)_{\omega_1\ \omega_3}=(T^2)_{\omega_1\ \omega_3}$！以此类推， $$ Z(\beta)=\sum_{\omega_1}\sum_{\omega_3}...\sum_{\omega_N} (T^2)_{\omega_1\ \omega_3}T_{\omega_3\ \omega_4}...T_{\omega_N\ \omega_1} $$ $$ =...=\sum_{\omega_{1}=1,-1} (T^N)_{\omega_1\ \omega_1} $$ $$ =\mathrm{trace}\ T^N, $$ 现在就差临门一脚. $T$实对称，自然可以对角化，求得特征值 $$ \lambda_{\pm}=e^{\beta J}\mathrm{cosh} (\beta h)\pm \left( e^{2\beta J} \mathrm{sinh}^2(\beta h)+e^{-2\beta J}\right)^{1/2}. $$ 可对角矩阵的迹等于特征值之和，因此 $$ Z(\beta)=\lambda_{+}^N+ \lambda_{-}^N=\lambda_{+}^{N}\left[ 1 + \left(\frac{\lambda_{+}}{\lambda_{-}}\right)^N \right]. $$