Strichartz估计（classical和bilinear）对非线性色散PDE的重要性无需赘述，一般文献普遍采用Fourier分析（frequency approach）$\times$ $TT^*$ method的证明. Strichartz估计也是系统在physical space传播时色散的体现，那么有趣的问题出现：能否在physical space上给出Strichartz估计更几何直观的解释？集中于有null condition 的波方程这个例子，笔者开启一个新系列：文章
[1] S. Klainerman, I. Rodnianski and T. Tao, A physical space approach to wave equation bilinear estimates
的阅读笔记，将围绕以下关键技术展开:
应当指出[1]的结果在[Klainerman-Machedon, 1993]已经用frequency method（时空Fourier变换）得到证明，并且在诸如波映照（wave map）方程的LWP等问题中成为关键. 但正如作者们所说，[1]的目的在于将frequency的结果作physical刻画，以便在背景有rough metric/non-flat curvatrue的情形拥有同样精细的结论. 事实上从[1]发展出的方法帮助PDE学者们最终解决了关于Einstein方程著名的 $L^2$ curvature conjecture.
注. 作者们在文中表示[1]是献给之前不幸因车祸英年早逝的天才分析学者T. Wolff (1954-2000). tube分解和尺度归纳技术正是由Wolff在研究调和分析四大猜想时所开创的. R.I.P.
在笔记中，空间维数 $n\geq 2$ . 如没有特别说明，所有常数均至多与 $n$ 相关.
一个free waves $\phi=\phi(x,t)$ 是 $\mathbf{R}^{n+1}$ 线性波方程 $$\Box u(x,t):= (-\frac{\partial^2}{\partial_t^2}+\Delta)u(x,t) = 0 \tag{FW}$$ 的解, 并配备有初值（此时省略空间变量 $x$ ） $$\phi[0]:=(\phi_0(x), \phi_1(x)=\phi_t) \ .$$ 我们约定 $\nabla_x \phi$ 代表空间方向的导数，$\nabla_{x,t} \phi$ 代表时空全体所有方向的导数. 在单独列出偏导数时，我们规定希腊字母下标（$\alpha, \beta, ...$）为任意时空方向的导数，而拉丁字母下标（$i, j, ...$）为任意空间方向的导数. $\phi$ 最重要的守恒量是energy $$E[\phi](t):=\frac{1}{2}\int_{\mathbf{R}^n} \vert \nabla_{x,t}\phi\vert^2 \ dx \equiv E[\phi](0)\ ,$$ 简记为 $E[\phi]$ .
设 $\lambda=2^k$ 是一个二进整数. 借助Littlewood-Paley分解，我们称 $\phi$ 是一个频率 $\lambda$-波包, 如果 $\widehat{\phi}(\xi, t)$ 支撑在区域 $\vert \xi \vert \sim \lambda$ 上. 引入频率 $\lambda$ 的投影算子 $P_{\lambda}$ , 如果 $\phi$ 是一个free wave, 那么由multipler的交换性 $P_\lambda \phi$ 是一个 $\lambda$-波包.
设 $\phi=\phi(x,t)$ 是一个 $\lambda$-波包, 导数 $$\nabla_x^m \phi =\lambda^{m-l} P_\lambda \nabla_x^l\phi \ .$$ 在物理空间上展开 $P_\lambda$ 即有 $$| \nabla_x^m\phi(x) | \lesssim_M \lambda^{m-l} \int |\nabla_x^l \phi(x+y/\lambda)| \left\langle y \right\rangle^{-M} \ dy \tag{1}$$ 对任意 $M>0$ 成立, 特别地我们由Young不等式得到 $$\Vert \phi\Vert_{L^\infty} \lesssim \lambda^{n/2-1} E[\phi]^{1/2} \ . \tag{2}$$ 这启发我们在估计bilinear term $Q(\phi, \psi)$ 时应当用 $L^\infty$ 控制低频部分，用 $L^2$ 控制高频项.
有了上述准备，我们叙述[1]的主要结果.
定理1 (local version). 设有二进整数 $\lambda, \mu$ , 令 $\epsilon > 0$ . 则有 $$\begin{align*} & \Vert Q(\phi, \psi) \Vert_{L^2(\mathbf{Q}_R)} \\ \lesssim & R^\epsilon \min{(\lambda, \mu)}^{\frac{n-1}{2}+\epsilon} E[\phi]^{1/2} E[\psi]^{1/2} \ , \ R\min{(\lambda, \mu)}\gtrsim 1 \ , \ \text{or} \\ \lesssim & R^{\frac{1}{2}} \min{(\lambda, \mu)}^{\frac{n}{2}} E[\phi]^{1/2} E[\psi]^{1/2} \ , \ R\min{(\lambda, \mu)}\lesssim 1 \ , \tag{LN} \end{align*}$$ 其中 $\phi, \psi$ 分别是 $\lambda, \mu$-波包, $\mathbf{Q}_R \subset \mathbf{R}^{n+1}$ 是一个边长 $R > 0$ 的方体，以及 $Q$ 是以下 null forms $$Q_0(\phi, \psi) := \partial_t\phi \partial_t\psi - \nabla \phi \cdot \nabla \psi \ ,$$ $$Q_{\alpha\beta}(\phi,\psi) := \partial_\alpha \phi \partial_\beta \psi - \partial_\alpha \psi \partial_\beta \phi \ .$$
并进一步拼贴出一般情形
定理2 (null form estimates). 设 $\phi, \psi$ 都是free waves, $Q$ 是一个null form, 则有 $$\Vert Q(\phi, \psi)\Vert_{L^2([0,1]\times \mathbf{R}^n)} \lesssim E[\langle D \rangle^{\frac{n-1}{2}+\epsilon} \phi]^{1/2} E[\psi]^{1/2}\ , \tag{N}$$ 对任意 $\epsilon > 0$ 成立，其中 $\langle D \rangle$ 代表Fourier multipler $\langle \xi \rangle$ .
必须指出 $(N)$ 并不平凡. 我们考虑简单地用Hölder不等式：如果将 $Q(\phi, \psi)$ 直接分解为 $\sum \nabla_{x, t} \phi \nabla_{x,t} \psi$ , 现在手头上只有 $E[\phi], E[\psi]$ , 那么将其中一个 $\nabla_{x,t} \psi$ 用 $L_t^{\infty}L_x^2$ 控制, i.e. $$\|Q(\phi, \psi)\|_{L_{x,t}^2} \leq \|\nabla_{x,t} \psi\|_{L_t^\infty L_x^2} \|\nabla_{x,t} \phi\|_{L_t^2 L_x^\infty} \leq E[\psi]^{1/2} \|\nabla_{x,t} \phi\|_{L_t^2 L_x^\infty} \ , $$ 注意例如在 $d=3$ 时 $L_t^2 L_x^\infty$ 是端点指标(endpoint)，Strichartz估计失效！因此研究定理1和2需要 $Q$ 更精细的结构，这也是文章的趣味所在：null forms历史上是来自physical space的概念，用向量场方法的黑话就是相比一般的quadratic terms它们可以被所谓的 good derivatives 控制进而得到额外的衰减；但Strichartz估计在传统上是frequency的结果，两个视角之间会有何种联系？
基本的思路是我们同时需要frequency & physics的局部化来捕获波包传播的几何信息，这是文章的核心思想. 熟悉调和分析的读者会意识到：由于uncertainty principle, 同时做局部化是困难的；另外波包在时空中传播时会不断相互作用 i.e. tube们不断相交，这需要考虑不同尺度下的几何，相当于在时空 $\mathbf{R}^{n+1}$ 中做 $L^2$ decoupling (很有意思耶). 接下来的几篇博客将着力于此并证明定理1和2.
注. null condition主要针对低维情形（$n\leq 3$）, 因为在高维情形波的传播方向更多导致相互作用的强度减弱，无需null condition也有足够衰减. 事实上[Tataru, 1999]在高维情形证明了无null condition版本的定理2. 而从历史上看，正是在NLW小初值稳定性问题中F. John在 $n=3$ 的反例和[Klainerman, 1985]在 $n\geq 4$ 的证明（向量场方法的首秀）后，为了研究 $n=3$ 的正面结果由Cristodoulou和Klainerman分别提出了null condition.
注. 定理1, 2均损失了 $\epsilon$ 个导数，是由tube分解和尺度归纳导致（而[K-M]的frequency approach能直接得到sharp的结果）. 后面我们会看到可以通过一些技巧避免 $\epsilon$-损失.
现在开始局部版估计 $(LN)$ 的证明. 这一期我们引入最重要的工具：tube分解. 我们将在以下的 标准时空cube 上工作： $$\mathbf{Q}_R^{(0)} := \{(x,t) : |x_i| \lt R \ , \ 1\leq i \leq n \ ; \ R\leq t \leq 2R\} \ .$$ 其中 尺度 $R \gtrsim 1$ . 注意当 $R$ 增大时 $\mathbf{Q}_R^{(0)}$ 以速度 $1$ 向未来传播并扩大，且与初始（类空）曲面 $t=0$ 保持距离 $R$ . 这是后续应用向量场方法的关键.
定义3. 给定 长度 $R$ , 宽度 $1\lesssim r \lesssim R$ , 方向 $\omega\in S^{n-1}$ , 起始点 $x_0\in \mathbf{R}^n$ . 称 $$T=T(R, r, \omega, x_0):= \{(x,t) : |x-t\omega-x_0|\leq r \ ; \ 0\leq t \leq 3R\}$$ 为时空 $\mathbf{R}^{n+1}$ 中的一个 tube .
这里 $t$ 的范围保证 $T$ 能完整穿过 $\mathbf{Q}_R^{(0)}$ , 更小的 $r$ 保证 $T$ 不会覆盖整个 $\mathbf{Q}_R^{(0)}$ ，这样讨论若干 $T$ 在 $\mathbf{Q}_R^{(0)}$ 中的相互作用才有意义.
现在考虑沿着 $T$ 传播的波包. 通过正规化，我们规定波包的能量 $E[\phi]=1$ .
定义4 (tube局部化). 设 $T$ 是一个tube, $\phi$ 是一个 $\mu$-波包, $\mu \gtrsim 1$ , $E[\phi]= 1$ . 称 $\phi$ 是一个 $T$-局部的 波包, 如果有 $L^{\infty}$ 估计 $$|\nabla_{x,t}\phi(x,t)|\lesssim \left(R+\operatorname{dist}((x,t), T)\right)^{-100 n} \mu^{n/2} \tag{3}$$ 对任意 $(x,t)\notin T$ , $R/2 \leq t \leq 5R/2$ 都成立；以及有 $L^2$ 估计 $$\left(\int_{x : (x,t)\notin T \ , \ |x|\lesssim R} |\nabla_{x,t} \phi|^2 \ dx\right)^{1/2} \lesssim \left(R+\operatorname{dist}((x,t), T)\right)^{-100 n}\tag{4}$$ 对任意 $R/2 \leq t \leq 5R/2$ 成立. 在此条件下，约定记号 $\phi=\phi_T$ .（$100n$ 可以换作任何充分大的幂次）
$(3)$ 和 $(4)$ 的右式不能为 $0$ , 否则违反uncertainty principle. 读者可自行验证：$(3)$ 是 $(4)$ 和 $(1)$ 的推论.
做足准备，现在叙述如何将一个free wave“几乎正交”地分解为若干 $T$-局部的波包. 任取一个充分小的 $0\lt \epsilon \ll 1$ , 接下来的常数系数会与 $\epsilon$ 有关.
定理5 (尺度 $R$ 的tube分解). 设 $\phi$ 为一个 $\mu$-波包，$\mu \gtrsim 1$ , $E[\phi]= 1$ . 令 $R\gtrsim 1$ 以及 $R^{1/2 +\epsilon} \lesssim r \ll R$ . 则存在一族（可数的）长度 $R$, 宽度 $r$ 的tube $\mathbf{T}$ , 对每个 $T\in\mathbf{T}$ 都存在一个 $T$-局部的 $\mu$-波包 $\phi_T$ s.t. $$\phi = \sum_{T\in\mathbf{T}} \phi_T + \phi_{error} \ , \tag{5}$$ 其中误差项 $\phi_{error}$ 是一个 $\mu$-波包，$E[\phi_{error}] \ll 1$ . 进一步有
注. 第3条说明一个cube中波包的相互作用强度不会太大，这有助于我们控制tube局部化 $(3)$ 和 $(4)$ 的误差.
注. 各种版本的波包分解自Fefferman的时代起就在调和分析领域有丰富的应用，特别在千禧年前后在限制性估计、Kakeya问题等等的驱动下有了很大发展。读者也可以将其视为某种意义下的decoupling定理.
下一篇博客 尺度归纳，透射项的几何 将利用tube分解和尺度归纳技术证明 $(LN)$ 的“透射”情形；而tube分解的具体构造我们留在系列的最后，将给出Fourier式和几何式两个证明.
未完待续~(≧◡≦)