最近很忙没有什么好topic, 来水几句不然博客没有一篇分析方向太不像PDE废柴了. 以下是广为人知的Gronwall不等式，没有她可能会饿死很多PDE人（笑）

定理. 设连续函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，可积函数$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$均恒正. 如果存在$A\geq 0$，对任意$t\in[0,T]$满足 $$ f(t)\leq A+\int_{0}^tf(s)g(s)ds, $$ 那么对任意$t\in[0,T]$， $$ f(t)\leq Ae^{\int_0^t g(s)ds} $$

当然可以直接用微分不等式的方法证明，这是经典的数分习题. 但这里我们采用更冗长——但更符合定理本性也更普适的bootstrap method，即反馈机制对系统本身的控制. 这个想法在诸如小初值全局解存在性，弱解正则性的提升，方程各项之间的耦合等PDE问题中都会体现. 证明基于一个拓扑事实.

引理. 设拓扑空间$X$连通，则$X$中既开又闭的子集要么是空集，要么是$X$本身.

在定理中$X=[0,T]$. 子集的构造不那么显然：对任意$\epsilon>0$，考虑以下条件(induction hypothesis)

$$ f(t)\leq (1+\epsilon)Ae^{(1+\epsilon)\int_0^t g(s)ds}.\tag{B} $$

定义$O:=\{t\in[0,T]: \forall s\in[0,t], f(s)满足(B)\}$，我们希望$O=[0,T]$. $0\in O$，所以$O$非空；$f(t),\int_0^tg\,ds$连续，所以$O$是闭集； 开性是证明的关键. 设$t\in O$，我们把$(B)$代入定理的条件：

$$ f(t)\leq A+A\int_{0}^te^{(1+\epsilon)\int_0^s g(y)dy}\cdot (1+\epsilon)g(s)ds $$ $$ =Ae^{(1+\epsilon)\int_0^t g(s)ds}<(1+\epsilon)Ae^{(1+\epsilon)\int_0^t g(s)ds}. $$

由$f$连续性可知存在$\delta>0$, $[0,t+\delta)\subset O$. 所以$O$是开集. 综上可知$O=[0,T]$，令$\epsilon\to 0$即得到Gronwall不等式. $\Box$

Q: 如果直接把定理结论作为条件$(B)$，证明会出现什么问题?