按：是的你没看错，集中紧性系列又鸽了.（笑）

集合论有以下基本，熟知但并不显然的定理：

定理1 (Schroeder-Bernstein). 设集合$A , B$ 之间存在单射 $$f\colon A\to B\ ,\ g\colon B\to A.$$ 则 $\vert A\vert =\vert B\vert$ , i.e. 存在双射 $h: A \to B$ .

众所周知，证明并不容易. 偶然看到一个基于格论和不动点的清爽证明，鉴于其直观性和启发性布置为中法班分析Ⅰ的一道（法式）大习题. 在这里记录一下证明细节.

证明动机，Banach分解

困难自然在于没有 $f , g$ 具体结构的情况下构造 $h$ . 我们手头上的双射有 $$f\colon A\to f(A)\ , \ g^{-1}\colon g(B) \to B \ .$$ 前者是“大定义域-小值域”，后者是“小定义域-大值域”，一个自然的想法是：能不能找到一个“平衡” $f, g^{-1}$ 的子集 $X\subset A$ , 将 $A$ 分解为 $X$ 和 $A\setminus X$ s.t. $$h := f \ \text{on } X\ , \ h := g^{-1} \ \text{on } A\setminus X\ $$ 即为所求双射？因此定理1就是下述Banach分解的直接推论.

定理2 (Banach). 设集合 $A, B$ 之间有映射(无需单射！) $$f\colon A\to B\ ,\ g\colon B\to A.$$ 则存在 $X\subseteq A$ 使得 $$g\colon B\setminus f(X) \to A\setminus X$$ 是满射.

格论补给站

一个偏序集(poset) $P$ 配备有一个偏序 $\leq$ s.t.

1. 自反性：$x\leq x$ , $\forall x\in P$ ;
2. 反对称性：$(x\leq y \wedge y\leq x) \Rightarrow x=y$ ;
3. 传递性：$x\leq y\leq z \Rightarrow x\leq z$ .

对非空子集 $S\subseteq P$ , 自然可以定义上(下)界和上(下)确界，后者记为 $\sup S$ ($\inf S$) . 由反对称性可知确界一旦存在就是唯一的. 下述的完备性可以看作格上的确界原理.

定义3. 如果任意一对元素 $\{a,b\}\subseteq P$ 的上确界都存在，则称偏序集$(P, \leq)$为一个格(lattice). 进一步地，如果任意子集 $S \subseteq P$ 的确界都存在，则称格 $(P, \leq)$ 是完备(complete)的.

练习. 证明集合 $A$ 的幂集(power set) $\mathcal{P}(A)$ 配备集合的包含关系 $\subseteq$ 后成为一个完备格.

格之间最自然的态射当然是保序映射：

定义4. 设有两个格 $L, L'$ . 称映射 $f: L\to L'$ 是保序(order-preserving mappings)的，如果 $$ x\leq y \Rightarrow f(x)\leq f(y)\ , \ \forall x , y\in L \ .$$

不动点定理，完成证明

回忆数学分析的一个经典命题：$[0,1]\to [0,1]$ 的单调函数有不动点. 对于完备格也有平行的版本：

定理5 (Knaster-Tarski). 设 $L$ 是完备格，$f\colon L \to L$ 是保序映射. 则 $f$ 有至少一个不动点 $x\in L$ , 即 $f(x)=x$ .

证明. 考虑子集 $$E:=\{x\in L\colon x\leq f(x)\} \ .$$ 首先 $\inf L \in E$ , i.e. $E \neq \emptyset$ . 设 $s=\sup E \in L$ , 则有 $$x\leq f(x) \leq f(s)\ , \ \forall x\in E\ .$$ 所以 $f(s)$ 是 $E$ 的上界，$s\leq f(s)$ . 进一步有 $f(s)\leq f(f(s))$ i.e. $f(s)\in E$ , 所以 $f(s)\leq s$ . 综上，$s=f(s)$ . $\Box$

至此，Banach分解的证明水到渠成.

定理2的证明. 考虑完备格 $(\mathcal{P}(A), \subseteq)$ 上的映射 $$\Phi \colon \mathcal{P}(A) \to \mathcal{P}(A)\ , \ Y \mapsto A\setminus g(B\setminus f(Y)) \ . $$ 将 $f, g$ 从 $A, B$ 提升到 $\mathcal{P}(A), \mathcal{P}(B)$ 上，易知 $f, g$ 都是保序的. $\Phi$ 中包括了两次补运算，所以 $\Phi$ 也是保序的. 由K-T不动点定理，存在$X\subseteq A$ s.t. $\Phi(X) = X$ . 等式两边取补集即得 $g(B\setminus f(X))=A\setminus X$ . $\Box$