接第一篇文章 引子，tube分解 ，我们开始用tube分解（cf. (Ⅰ), 定理5）做具体的估计.
为简化过程我们做scaling和normalize，WLOG 设 $E[\phi]=E[\psi]=1$ , $1=\lambda\leq \mu$ . 对于任意 $R>0$ , 简单使用Hölder不等式和 $(1)$ 即有 $$\| Q(\phi, \psi) \|_{L^2(\mathbf{Q}_R)} \lesssim R^{1/2}\| \nabla_{x,t} \phi \|_{L^\infty_t L^\infty_x} \| \nabla_{x,t} \psi \|_{L^\infty_t L^2_x} \lesssim R^{1/2} \ . \tag{LN($\frac{1}{2}$)}$$ 这对小尺度 $R\lesssim 1$ 已经足够，因此下面令 $R\gg 1$ .
另外通过（Minkowski）时空的平移不变性，我们化归到 $\mathbf{Q}_R=\mathbf{Q}_{R}^{(0)}$ 的标准情形. 这一点[1]一笔带过，其实有些微妙之处. 空间平移当然没问题，但时间平移呢？笔者的解释是因为波方程的演化算子 $U(t)$ 是可逆的，而且根据未来给出的tube分解具体构造可知tube局部化的结构被 $U(t)$ 保持；所以对靠近初始曲面 $\{t=0\}$ 的 $\mathbf{Q}_R$ , 都可以通过将初值逆向传播时间 $\sim R$ 后的数据作为新的初值从而标准化.
我们的目标是在大尺度情形把 $1/2$ 优化为 $\epsilon \ll 1$ . 来自T. Wolff的魔法是：如果能将大尺度问题 $\mathbf{Q}_{R^{\alpha}}$ 转化为更小尺度的 $\mathbf{Q}_{R^{(1-c)\alpha}}$ 情形，那么相应地就能把 $(LN)$ 的系数项从 $R^\alpha$ 下降为 $R^{(1-c)\alpha}$ ; 如果 $c$ 与 $\alpha$ 无关，那么我们就通过bootstrap证明所有 $\alpha$-指数的 $(LN)$ ! 具体地讲，考虑 $$\| Q(\phi, \psi) \|_{L^2(\mathbf{Q}_R)} \lesssim_{\alpha} R^{\alpha} \ , \tag{LN($\alpha$)}$$ 我们将证明（因为tube分解我们会额外损失 $O(\epsilon)$ 个指标）
引理6 (尺度归纳, induction on scales). 设估计 $LN(\alpha)$ 对某个 $\alpha>0$ 成立，则存在只与 $n$ 相关的常数 $c\lt 1$ 和 $C> 0$ s.t. 任意 $\epsilon>0$ 都有估计 $LN((1-c)\alpha+C\epsilon)$ 成立.
即完成了 $(LN)$ 的证明（我们已经有 $LN(1/2)$ 作为归纳的起点）. 下面开始引理6的证明. 我们用tube分解 $$\phi=\sum_{T\in \mathbf{T}}\phi_T + \phi_{error}\ , \ \psi=\sum_{T'\in\mathbf{T}'} \psi_{T'} +\psi_{error}$$ 展开 $Q(\phi, \psi)$ , 其中带 $\phi_{error}$ 或 $\psi_{error}$ 项的booststrap直接由 $E[\phi_{error}], E[\psi_{error}]\ll 1$ 可得; 事实上由tube分解的证明可知 $E[\phi_{error}], E[\psi_{error}] \lesssim R^{-50n}$ , 自然可以吸收 $LN(\alpha)$ $(\alpha\leq 1/2)$ . 因此我们只需考虑波包之间的相互作用 $$\sum_{T\in \mathbf{T}}\sum_{T'\in\mathbf{T}'} Q(\phi_T, \psi_{T'}) \ . \tag{8}$$ 而尺度归纳的魔法关键在于以下观察：通过几乎正交性 $(7)$ 将估计归约为tube两两相互作用的估计；如果两根尺度 $(R,r)$ tube不相交或者有“大交角”，那么他们相互作用区域的尺度 $\ll R$ ！而null form结构的角色在于消除“小交角”的较差情形（想象两根tube底座相交且方向一致，那么在任何时刻这两个波包都会叠加）. 下一节将仔细分类这两种情况的几何.
因为我们在 $\mathbf{Q}_R=\mathbf{Q}_R^{(0)}$ 上工作，所以对带 $\operatorname{dist}(T , \mathbf{Q}_R)$ 的项 , $L^{\infty}$-局部化 $(3)$ 会给 $LN(\alpha)$ 附上额外的衰减 $R^{-100n}$ ; 对 $T'$ 类似的情形用 $L^2$-局部化 $(4)$ 同理. 因此只需考虑所有起始点 $x_0, x_0'$ 落在边长 $10R$ ，中心位于原点的cube $\mathbf{K}\subset \mathbf{R}^n$ 的情形. 由tube分解的密度控制，这些tube的总数为 $O(R^{10n})$ .
考虑 $|x_0-x_0'|\gg r$ 的情形，则 $T\cap T'$ 如果相交则必定要有大的交角，这被称为 透射（transverse interaction） ，就像那条烂大街的比喻：两个人就像相交的直线，匆匆相遇又匆匆告别；反之则 $T\cap T'$ 可能会很大，称为 共振（resonant interaction）. 后者在[1]称为parallel, 笔者站在时空共振理论的观点以及为了对仗便换了个称呼. 为了落实这个想法，我们需要对physical space做细分：
取一个待定的尺度 $r\ll \rho_0 \ll R$ . 我们将 $\mathbf{K}$ 分解为各级二进尺度的子cubes $\kappa \subset \mathbf{K}$（可参考Calderón-Zygmund分解的构造）, 其中每个子方块的边长 $\ell(\kappa)$ 至少有 $\rho_0$ . 适当平移可以保证每个 $x_0, x_0'$ 都落在某些 $\kappa$ 的内部. 于是对每个 $\kappa$ 都能定义 $$T(\kappa) := \{T\in \mathbf{T} : x_0\in \kappa\} \ , \ T'(\kappa) := \{T'\in\mathbf{T}' : x_0'\in \kappa\} \ . $$
定义7 (二分，dichotomy). 两个二进子cube $\kappa, \kappa'$ 有且仅有以下两种情形
(i) close pair : 如果 $\kappa, \kappa'$ 位于同一二进尺度，且两者不相邻而所属的上一级cube相邻. 记为 $\kappa \sim \kappa'$ ;
(ii) adjacent pair : 如果 $\kappa, \kappa'$ 都有边长（最低尺度） $\rho_0$ 且两者相等或相邻. 记为 $\kappa\approx \kappa'$ .
特别地，close pair意味着 $\operatorname{dist}(\kappa, \kappa')\approx \ell(\kappa)= \ell(\kappa')\geq \rho_0$ . 现在我们可以将 $T$ , $T'$ 的几何关系分类为
因此我们能继续将 $(8)$ 分解为透射项 $$\sum_{\kappa, \kappa'\subset \mathbf{K}: \kappa\sim \kappa'} Q(\phi_{\kappa}, \psi_{\kappa'}) \tag{9}$$ 和共振项 $$\sum_{\kappa, \kappa'\subset \mathbf{K}: \kappa\approx \kappa'} Q(\phi_{\kappa}, \psi_{\kappa'}) \ , \tag{10}$$ 其中 $$\phi_\kappa := \sum_{T\in T(\kappa)} \phi_T\ , \ \psi_{\kappa'} := \sum_{T\in T'(\kappa')} \psi_{T'} \ .$$ 换言之，$\phi_\kappa$ 表示了所有从 $\kappa$ 出发向未来演化的波包.
为什么采用这个几何定义？我们观察到如果一对close pair上的两根tubes $T$, $T'$ 在 $\mathbf{Q}_R$ 相交, 则两者的交角 $\sim \rho/R$ ; 这点正是因为标准的 $\mathbf{Q}_R=\mathbf{Q}_R^{(0)}$ 与 $\{t=0\}$ 的距离恰好 $\sim R$ , i.e. 如果交角太大则 $T\cap T'$ 落在 $t\ll R$ , 交角太小则 $T\cap T'$ 落在 $t\gg R$ , 因此我们可以用 空间的分离尺度诱导交角的分离尺度 . 现在 $T, T'$ 的宽度 $r$ , 且 $\rho \geq \rho_0 \gg r$（取 $\rho_0:=R^{c}r$ , $c$ 为充分小但固定的正数）, 于是可以用 更小的边长 $$O(Rr/\rho)=O(R^{1-c}) \ll R$$ 的cube覆盖 $T\cap T'$ , 这就是做bootstrap的关键！
下一节将证明透射项 $(LN)$ 估计的bootstrap. 共振项将留到下一期博客.
注意 $\kappa$ 的二进尺度只有 $O(\log R)$ 个层级，这个损失可以被 $R^{C\epsilon}$ 吸收，所以只需证明 $$\| \sum_{\kappa, \kappa' \in \mathbf{K}: \kappa \sim \kappa';\\ \ell(\kappa) = \ell(\kappa') = \rho} Q( \phi_\kappa, \psi_{\kappa'} ) \|_{L^2(\mathbf{Q}_R)} \lesssim R^{(1-c)\alpha+C\epsilon} \tag{11}$$ 对某个常数 $0\lt c\lt 1$ and 所有 $\rho_0 \leq \rho \leq R$ 都成立.
于是固定 $\rho$ . 由定义可知对每个 $\kappa$ 只有 $O(1)$ 个 $\kappa'\sim\kappa$ , 反之亦然（i.e. 透射关系的 几乎正交性 ）; 对于下面 $(12)$ 的误差余项而言，$\kappa, \kappa'$ 的总数 $O(R^{n/2})$ 也会被吸收. 因此由Cauchy-Schwarz以及Bessel不等式只需证明 $$\begin{align*}\tag{12} \| Q( \phi_\kappa, \psi_{\kappa'} )\|_{L^2(\mathbf{Q}_R)}^2 \lesssim & R^{2(1-c)\alpha+2C\epsilon} \left(\sum_{T \in T(\kappa)} E(\phi_T)\right) \left(\sum_{T' \in T'(\kappa')} E(\psi_{T'})\right) \\ & + R^{-100n} \end{align*}$$ 对每一对边长 $\rho$ 的close pair $\kappa$ , $\kappa'$ 成立.
于是再固定 $\kappa$, $\kappa'$ . 为了运用上一节最后的几何观察，我们将尺度 $R$ 的 $\mathbf{Q}_R$ 分划为更精细的子cubes $\mathbf{Q}_{R^{1-c}}$ . 现在透射的几何性质可以转化为 组合性质 :
命题8. 每一对来自close pair的 $(T, T')$ 都只有 $O(1)$ 个 $\mathbf{Q}_{R^{1-c}}$ 与两者相交.
考虑共振情形这个反例，命题的含义就很清楚了. 现在将 $(11)$ 的左式分解为 $$\sum_{\mathbf{Q}_{R^{1-c}}\subset \mathbf{Q}_R} \| Q( \phi_\kappa, \psi_{\kappa'} ) \|_{L^2(\mathbf{Q}_{R^{1-c}})}^2 \ . \tag{13}$$ 因此我们只需考虑每个 $\mathbf{Q}_{R^{1-c}}$ 以及与之相交的 $T, T'$ ; 更精确地说，先考虑单个不与 $\mathbf{Q}_{R^{1-c}}$ 相交的 $T \in T(\kappa)$ , 由 Hölder, Bessel不等式和 $T$-局部化估计可得 $$\begin{align*} \| Q( \phi_T, \psi_{\kappa'} ) \|_{L^2(\mathbf{Q}_{R^{1-c}})} &\lesssim R^{\frac{1-c}{2}} \| \nabla_{x,t} \phi_T \|_{L^\infty_{x,t}} \| \nabla_{x,t} \psi_{\kappa'} \|_{L^\infty_t L^2_x}\\ &\lesssim R^{\frac{1-c}{2}} R^{-100n} E(\psi_{\kappa'})\\ &\ll R^{-99n}. \end{align*}$$ 再对全体tubes $T$ 和子cubes $\mathbf{Q}_{R^{1-c}}$ 求和，由于总数只有 $R^{10n}$ 自然可以被 $(12)$ 控制的. 因此我们只需考虑 $\phi_{\kappa}$ 中的 $\sum_{T \in T(\kappa): T \cap \mathbf{Q}_{R^{1-c}} \neq \emptyset} \phi_T$ , 其求和条件简写为 $T\in T(\kappa)\cap \mathbf{Q}_{R^{1-c}}$ ; 类似地将 $\psi_{\kappa'}$ 替换.
现在使用归纳假设 $LN(\alpha)$ : $$ \| Q( \phi_\kappa, \psi_{\kappa'} ) \|_{L^2(\mathbf{Q}_{R^{1-c}})}^2 \lesssim R^{2(1-c)\alpha} E\left(\sum_{T\in T(\kappa)\cap \mathbf{Q}_{R^{1-c}}} \phi_T\right) E\left(\sum_{T' \in T'(\kappa') \cap \mathbf{Q}_{R^{1-c}}} \psi_{T'}\right) \ ,$$ 于是用tube分解的几乎正交性 $(7)$ 做decoupling可得 $$ \| Q( \phi_\kappa, \psi_{\kappa'} ) \|_{L^2(\mathbf{Q}_{R^{1-c}})}^2 \lesssim R^{2(1-c)\alpha+2C\epsilon} \left(\sum_{T \in T(\kappa)\cap \mathbf{Q}_{R^{1-c}}}\sum_{T' \in T'(\kappa)\cap \mathbf{Q}_{R^{1-c}}} E(\phi_T) E(\psi_{T'}) \right) \ .$$ 这里decoupling的意义在于把 $T, T'$ 各自的能量乘积转换为两者在 $\mathbf{Q}_{R^{1-c}}$ 上的 joint energy , 而如后面所见不同 $\mathbf{Q}_R$ 的joint energy因为透射而几乎正交. 再将上式代入 $(13)$ 有 $$ R^{2(1-c)\alpha+2C\epsilon}\left(\sum_{\mathbf{Q}_{R^{1-c}}} \sum_{T \in T(\kappa)\cap\mathbf{Q}_{R^{1-c}}}\sum_{T' \in T'(\kappa') \cap \mathbf{Q}_{R^{1-c}}}E(\phi_T) E(\psi_{T'}) \right) \ ,$$ 再根据命题8，上式可以被 $$ R^{2(1-c)\alpha+2C\epsilon}\left(\sum_{T \in T(\kappa)}\sum_{T' \in T'(\kappa')} E(\phi_T) E(\psi_{T'}) \right)$$ 控制，于是 $(12)$ , $(11)$——进而透射情形的引理6成立.
现在还剩下共振项 $(10)$ 的bootstrap估计. 下一期博客 向量场方法，局部化与色散 将引入得力的几何工具解析null form的结构，借此我们能够消除共振情形的影响从而完成引理6——进而定理1, 2的证明.
未完待续~(≧◡≦)