博客的标题可以严格地表述如下：
定义1. 区域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^{d} $ 称为 谱区域（spectral region），如果 $ L^{2}(\Omega) $ 存在形如 $ \{e^{2 \pi i x \cdot a}\}_{a \in A} $ 的正交基，其中谱集 $A\subset \mathbb{R}^d$ .
回答是否定的.
定理2 (Fuglede 1974). 单位圆盘 $D\subset \mathbb{R}^2$ 不是谱区域.
美妙的是，这个分析问题的一个证明将带领我们通往关联几何（incidence geometry）的世界——点与线相交的组合性质. 这套论证同样适用于高维情形，可参考
A. Iosevich, N. Katz, and S. Pedersen, Fourier bases and a distance problem of Erdös, Math. Res. Lett. (1999)
现在假设 $A$ 存在，我们探究 $A$ 具有的性质. 这一节的结果和证明也有其独立的意义和趣味.
首先，正交性意味着 $$\int_D e^{2\pi ix \cdot(a-a')} \, dx = 0, \quad \forall a,a'\in A,\ a\neq a'.$$ 这自然引导我们考察 $D$ 的特征函数 $\mathbf{1}_{D}$ 的Fourier变换 $$ \widehat{\mathbf{1}_D}(\xi) = 2\pi |\xi|^{-1} J(2\pi |\xi|)\ ,$$ 其中 $ J(r)=J_1(r) $（$r\geq 0$）是一阶Bessel函数. 已知 $J$ 有以下性质：
注. 性质1本质是Strum-Liouville理论应用于 $J$ 满足的ODE，也可以由性质2推出；性质2则是振荡积分理论的标准结果. 因此，上述性质在高维情形仍然有类似的对应.
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下面的两个引理说明谱集 $A$ 应当 离散且均匀地分布 在 $\mathbb{R}^2$ 中.
引理3. 存在常数 $ \delta > 0 $，s.t. 对任意 $ a \neq a' \in A $，有 $ |a - a'| > \delta $ . 特别地，$A$ 是可数离散集.
证明. 由 $J$ 的零点的分离性质立即得证. 也可以通过 $\widehat{\mathbf{1}_D}(0)=2\pi>0$ 以及连续性说明 $|a-a'|$ 有正下界.$\quad$$\Box$
引理4. 存在 $s>0$ , s.t. $\mathbb{R}^2$ 中任何边长为 $ s $ 的正方形都包含 $ A $ 中至少一个点.
证明. 对任意 $\xi\in\mathbb{R}^2$ , 我们的目标是找到 $a\in A$ s.t. $a-\xi\in Q$ , 其中 $Q=Q_s$ 是以原点为中心，边长为 $s$ 的正方形. 由于 $ \{e^{2\pi i x \cdot a}\}_{a \in A} $ 是正交基，我们可以对 $L^2$ 函数 $f_\xi(x):=e^{-2\pi ix\cdot \xi}\mathbf{1}_D(x)$ 建立Parseval恒等式： \begin{equation*} \begin{aligned} 2\pi & = \int_D |f_\xi(x)|^2 dx = \sum_{a \in A} |\widehat{\mathbf{1}_D}(a-\xi)|^2\\ & = \sum_{a \in A\cap (Q+\xi)} + \sum_{a\in A \setminus (Q+\xi)} |\widehat{\mathbf{1}_D}(a-\xi)|^2 \\ & =: \mathrm{I} +\mathrm{II}. \end{aligned} \end{equation*} 因此只需说明 $\mathrm{I}>0$ , i.e. $|\mathrm{II}|\ll 2\pi$ 就能得出 $(A-\xi)\cap Q\neq \emptyset$ . 为了控制 $\mathrm{II}$ , 我们利用 $\widehat{\mathbf{1}_D}(\xi)$ 的衰减性质和 $A$ 的 $\delta$-分离性： \begin{equation*} \begin{aligned} |\mathrm{II}| & \lesssim \sum_{a'\in A-\xi:\ |a'|\gtrsim s} |\widehat{\mathbf{1}_D}(a')|^2\lesssim \sum_{a'\in A-\xi:\ |a'|\gtrsim s} |a'|^{-3}\\ & \lesssim \sum_{j\geq j_0:\ 2^{j_0}\approx s} 2^{-3j}\#\{a'\in A-\xi: 2^j\leq |a'|\leq 2^{j+1}\}\\ & \lesssim \sum_{j\geq j_0:\ 2^{j_0}\approx s} 2^{-3j} \cdot 2^{2j}/\delta^2\\ & \lesssim_\delta 2^{-j_0} \approx s^{-1}. \end{aligned} \end{equation*} 因此只需取一个充分大的 $s$，引理得证.$\quad$$\Box$
现在考虑任意一个大圆盘 $ D_R(0) $（$R\gg s>0$），设 $A_R:= A \cap D_R(0) $ . 于是根据引理3-4，$|A_R|\approx R^2$；另一方面，根据 $J$ 的零点分布可以得到
命题5. 对任意 $R\gg 1$ , $A_R$ 的 距离集 有上界估计 $$\# \{|a-a'|:\ a,a'\in A_R\} \lesssim R.$$
我们从Fourier分析出发，最终却来到了组合学的场景：能否恰当地安置 $n\gg 1$ 个点，s.t. 它们两两之间的距离不超过 $O(n^{\frac{1}{2}})$ 种？而下面的命题否决了这种可能性.
命题6. 设有限集 $ E \subset\mathbb{R}^{2} $ , $|E|=n$ . 则 $E$ 的距离集有下界估计 $$ \#\{|x-y|: x,y\in E\} \gtrsim n^{\frac{2}{3}}. $$
注. Erdös曾猜想最优下界为 $\Omega(n/\sqrt{\log n})$ . 目前最好的结果是[Guth-Katz 2015]通过多项式方法得到的 $\Omega(n/\log n)$ , 这几乎解决了Erdös猜想.
我们从关联几何的视角观察这个问题. 对于每个固定的距离 $r$ , 我们将 $|x-y|=r$ 这个模式等效为 $y$ 与以 $x$ 为圆心，半径为 $r$ 的圆周 $C_r(x)$ 相交. 因此问题归结为一个计数问题：对于每个 $r$ ，$E$ 和 $C_r(E):=\{C_r(x)\}_{x\in E}$ 至多有多少个相交对？
定义7. 给定 $\mathbb{R}^2$ 中有限的点集 $P$ 和一族曲线 $L$ , 我们定义 $P$ 和 $L$ 的 关联数（incidence number） $$I=I(P,L):= \# \{(p,l)\in P\times L: p\in l\}\ .$$
于是 $E\times E$ 中满足距离为 $r$ 的点对数量即为 $I(E,C_r(E))$ .
命题6的证明. 只需证明 $$I(E,C_r(E)) \lesssim n^{\frac{4}{3}}\ ;$$ 事实上，$|E\times E|= N^2$，于是每个距离对应的关联数上界推出全体距离至少有 $\gtrsim n^2/n^{\frac{4}{3}}=n^{\frac{2}{3}}$ 种. 而在关联几何这一侧，Szémeredi-Trotter首先证明了直线情形指标最优的上界估计：
定理8 (Szémeredi-Trotter 1983). 给定 $P$ 和一族直线 $L$ , 则 $$ I \lesssim |P|^{\frac{2}{3}}|L|^{\frac{2}{3}}+ |L|+ |P|.$$
进而还可以将直线集 $L$ 推广为一般的简单（simple）曲线.
定理9 (weighted Szémeredi-Trotter, Székely 1997). 给定平面上有限的点集 $P$ 和一族简单曲线 $L$ . 设 $(P,L)$ 满足以下的关联公理：
$\quad$(1) 任意两条不同的曲线最多交于 $ \alpha $ 个点；
$\quad$(2) 任意两个不同的点最多同时位于 $ \beta $ 条曲线上.
则有关联数的上界估计
$$I\lesssim (\alpha \beta)^{\frac{1}{3}}|P|^{\frac{2}{3}}|L|^{\frac{2}{3}}+|L|+\beta |P| .$$
wST定理和ST定理的证明大同小异；读者可以参考Tao-Vu的 Additive Combinatorics，通过证明图的交叉数估计得到ST，并推广至wST. 对于 $(E, C_r(E))$ , 可以取 $\alpha=\beta=2$ . 定理6即是wST定理的推论.$\quad$$\Box$
定理2的证明. 命题5与命题6构成矛盾，这说明符合要求的 $A$ 不存在.$\quad$$\Box$