利用上一篇博客 向量场方法，局部化与色散 的结果，现在我们来控制共振项, 并收束于这个系列的最终目标：null form的Strichartz估计 $(\text{LN})$ 与 $(\text{N})$（cf. [定理1&2, Ⅰ]）.
回顾 透射项 一节的设定：我们选取了共振尺度 $\rho_0=R^c r$ , 并约定了adjacent pair $\kappa\approx\kappa'$ 作为共振条件. 现在我们还需要估计共振项 $(10)$ , i.e. 证明 $$\| \sum_{\kappa, \kappa' \in \mathbf{K}: \kappa \approx \kappa'} Q( \phi_\kappa, \psi_{\kappa'} ) \|_{L^2(\mathbf{Q}_R)} \lesssim R^{(1-c)\alpha+C\epsilon} \ ,$$ 其中标准时空cube $\mathbf{Q}_R=\mathbf{Q}_R^{(0)}$ . 下面利用null condition的 $(\text{Impv-}L^2)$ , 我们能够得到更强的结果.
使用 $(\text{Impv-}L^2)$ 应当格外小心：首先，根据tube局部化的定义，局部化估计 $(7), (8)$ 只在 $R/2\leq t\leq 5R/2$ 上成立. 因此 $(\text{Impv-}L^2)$ 的初值曲面应当调整为 $\{t=R/2\}$ , 但因为我们在 $\mathbf{Q}_R\Rightarrow t-R/2\gtrsim R$ 上做估计，因此向量场方法——进而 $(\text{Impv-}L^2)$ 的证明依然成立.
另外，因为 $\kappa\approx\kappa'$ , 并且如同透射情形我们只需考虑那些在 $\mathbf{Q}_R$ 中交集非空的tubes , 所以经过初等几何的论证可知 $\phi_\kappa , \psi_{\kappa'}$ 在 $t=R/2$ 时仍然保持 $(\Lambda\text{-Local})$ 的条件，其中 $\Lambda\sim \rho_0$ . 因此根据三角不等式和 $(\text{Impv-}L^2)$ 有 $$\begin{align*} & \| \sum_{\kappa, \kappa' \in \mathbf{K}: \kappa \approx \kappa'} Q( \phi_\kappa, \psi_{\kappa'} ) \|_{L^2(\mathbf{Q}_R)} \\ \lesssim & R^{1/2} \| \sum_{\kappa, \kappa' \in \mathbf{K}: \kappa \approx \kappa'} Q( \phi_\kappa, \psi_{\kappa'} ) \|_{L_t^\infty L_x^2} \\ \lesssim & R^{1/2} \left(\frac{\rho_0}{R}\right)^{(n+1)/2} \sum_{\kappa, \kappa' \in \mathbf{K}: \kappa \approx \kappa'} E[\phi_\kappa]^{1/2} E_[\psi_{\kappa'}]^{1/2} \ . \end{align*}$$ 由于每个 $\kappa$ 只与 $O(1)$ 个 $\kappa'$ 组成adjacent pair, 反之亦然，因此由Cauchy-Schwarz, $$\begin{align*} | \sum_{\kappa, \kappa' \in \mathbf{K}: \kappa \approx \kappa'} Q( \phi_\kappa, \psi_{\kappa'} ) \|_{L^2(\mathbf{Q}_R)}\lesssim & R^{1/2} R^{Cc}\left(\frac{r}{R}\right)^{\frac{n+1}{2}}E[\phi]^{1/2} E_[\psi]^{1/2}\\ \lesssim & R^{-\delta} \ , \ \text{for} \ c, \epsilon \ll 1 \ , \tag{18} \end{align*}$$ 其中 $\delta\gt 0$ 是一个绝对常数 i.e. null form使得共振项作为小量被吸收，尺度归纳恒成立（事实上我们的结论根本不需要任何归纳假设）. 综合前文正规化的论证和透射项的结果，引理6——进而定理1 $$\begin{align*} & \| Q(\phi, \psi) \|_{L^2(\mathbf{Q}_R)} \\ \lesssim & R^\epsilon \min{(\lambda, \mu)}^{\frac{n-1}{2}+\epsilon} E[\phi]^{1/2} E[\psi]^{1/2} \ , \ R\min{(\lambda, \mu)}\gtrsim 1 \ , \ \text{or} \\ \lesssim & R^{\frac{1}{2}} \min{(\lambda, \mu)}^{\frac{n}{2}} E[\phi]^{1/2} E[\psi]^{1/2} \ , \ R\min{(\lambda, \mu)}\lesssim 1 \ , \tag{LN} \end{align*}$$ 成立. $\Box$
注. 这里对[1]的原证明做了简化，i.e. 利用共振条件和波的有限传播速度整体地处理 $\phi_\kappa, \psi_{\kappa'}$ , 而无需展开为 $\sum_{T\in T(\kappa)} \phi_T$ 之类；事实上，根据tube分解的构造，局部化估计 $(7), (8)$ 在整个 $0\leq t\leq 3R$ 上都成立，因此可以直接在初值面 $t=0$ 使用 $(\text{Impv-}L^2)$ , 几何层面的考虑也能一并略去了.
注. 因为做 $R\leq t\leq 2R$ 的积分，所以如果没有null condition, 在 $n=2, 3$ 时我们无法得到 $(18)$ .
现在着手最终目标 $$\| Q(\phi, \psi)\|_{L^2([0,1]\times \mathbf{R}^n)} \lesssim E[\langle D \rangle^{\frac{n-1}{2}+\epsilon} \phi]^{1/2} E[\psi]^{1/2}\ , \tag{N}$$ 的证明. 我们需要将 $(\text{LN})$ 在physics和frequency两个层面都“拼贴”出全局的估计.
Step 1. 固定frequency $\lambda, \mu$ , WLOG设 $\lambda\leq \mu$ . 我们先证明 $(\text{LN})$ 在physics space $[0, R]\times \mathbf{R}^n$ 上全局成立. 在小尺度情形 $R\lambda\lesssim 1$ 是平凡的，证明同之前证明归纳假设 $\text{LN}(\frac{1}{2})$ 一致；考虑大尺度情形 $R\lambda\gtrsim 1$ , 我们自然会将其分解为可数个 $\mathbf{Q}_R$（现在将 $\mathbf{Q}_R$ 恢复为任意位置的时空cube）, 但困难来源于如何将初值能量局部化于这些时空cubes的底座中，同时不改变 $\phi, \psi$ 的frequency（障碍在于uncertainty principle）？我们考虑二进环 $|\xi|\sim \lambda$ 上的bump function $a_{\lambda}$ , 那么根据 $$\mathcal{F}^{-1}[a_\lambda] (x) = \int_{|\xi|\sim \lambda} e^{2\pi ix\cdot \xi} a_\lambda(\xi) \ d\xi\ ,$$ 现在令 $\mathcal{F}^{-1}[a_\lambda]$ 作为physical localized multipler: 在frequency层面 $\widehat{\phi}*a_\lambda$ 不改变 $\lambda$-局部化；在physics层面，高频部分的积分会因为振荡与bump的光滑性而快速衰减，而低频部分的贡献会集中在一个 $\{x: x\cdot \xi \lesssim 1, |\xi|\sim\lambda\}$ 的区域（所谓的时间共振，time resonance）. 而大尺度条件恰恰使得该区域具有尺度 $O(R)$ . 因此我们可以在physcial space为每个 $\mathbf{Q}_R$ 在初值面 $t=0$ 构造合适的局部化 $\phi_{\mathbf{Q}_R}$ s.t. $$E[\phi_{\mathbf{Q}_R}] \approx \int_{\mathbf{R}^n} |\nabla_{x, t} \phi(0)|^2 \left(1+\frac{\operatorname{dist}(x, \mathbf{Q}_R)}{R}\right)^{-100n} \ dx \ .$$ 对 $\psi$ 有同样的结果. 注意到对于每个时空cube $\mathbf{Q}_R$ , 波的有限传播速度保证了 $\| Q(\phi, \psi) \|_{L^2(\mathbf{Q}_R)}$ 只与 $O(1)$ 个cubes上的初值有关. 因此由 $(\text{LN})$ 和Cauchy-Schwarz我们证明了physical全局而frequency局部的情形.
注. 这一段同时局部化的论证在Fourier restriction和decoupling理论非常经典，i.e. 局部常数性质（local constant）, 可以视为uncertainty principle的定量/几何版本.
Step 2. 现在固定 $R=1$ , 我们用Littlewood-Paley理论完成frequency的整体拼接. 自然地做Bony仿积分解 $$\begin{align*} Q(\phi, \psi) = & \sum_{\lambda, \mu} Q(P_\lambda \phi, P_\mu \psi) \\ = & \quad \sum_{\lambda \gg \mu} Q(P_\lambda \phi, P_\mu \psi) \tag{H-L} \\ & + \sum_{\lambda \ll \mu} Q(P_\lambda \phi, P_\mu \psi) \tag{L-H} \\ & + \sum_{\lambda \sim \mu} Q(P_\lambda \phi, P_\mu \psi) \ . \tag{H-H} \end{align*}$$ $(\text{H-L})$ 的frequency集中在 $|\xi|\sim \lambda$ , 因此可以将 （经过modify后的）$P_{\lambda}$ 交换至作用整个 $Q$ . 于是由几乎正交性 $$\|(\text{H-L})\|_{L^2([0,1]\times\mathbf{R}^n)} \lesssim \left(\sum_{\lambda} \|\sum_{\mu: \mu\ll\lambda}Q(P_\lambda \phi, P_\mu \psi)\|_{L^2([0,1]\times\mathbf{R}^n)}^2\right)^{1/2} \ .$$ 当 $\mu\lesssim 1$ 时，由Step 1的结果和Cauchy-Schwarz $$\begin{align*} \|(\text{H-L})_{\mu\lesssim 1}\|_{L^2([0,1]\times\mathbf{R}^n)}\lesssim & \left(\sum_\lambda \left(\sum_{\mu: \mu\lesssim 1, \mu\ll\lambda} \mu^{\frac{n}{2}}E[P_\mu\psi]^{\frac{1}{2}}E[P_\lambda\phi]^{\frac{1}{2}}\right)^2\right)^{1/2} \\ \lesssim & \left(\sum_\lambda E[P_\lambda\phi] \left(\sum_{\mu\lesssim 1} \mu^{\frac{n}{2}}E[P_\mu\psi]^{\frac{1}{2}}\right)^2\right)^{1/2} \\ \lesssim & E[\phi]^{1/2} E[\psi]^{1/2} \ ; \end{align*}$$ 而 $\mu\gtrsim 1$ 时同样有 $$\begin{align*} \|(\text{H-L})_{\mu\gtrsim 1}\|_{L^2([0,1]\times\mathbf{R}^n)}\lesssim & \left(\sum_\lambda \left(\sum_{\mu: 1\lesssim \mu \ll\lambda} \mu^{\frac{n-1}{2}+\epsilon}E[P_\mu\psi]^{\frac{1}{2}}E[P_\lambda\phi]^{\frac{1}{2}}\right)^2\right)^{1/2} \\ \lesssim & \left(\sum_\lambda E[P_\lambda\phi] \left(\sum_{\mu: 1\lesssim\mu\ll\lambda} \mu^{\frac{n-1}{2}+\epsilon}E[P_\mu\psi]^{\frac{1}{2}}\right)^2\right)^{1/2} \\ \lesssim & \left(\sum_\lambda \lambda^{n-1+2\epsilon}E[P_\lambda\phi]\right)^{1/2} E[\psi]^{1/2} \\ \lesssim & E[\left\langle D\right\rangle^{\frac{n-1}{2}+\epsilon}\phi]^{1/2} E[\psi]^{1/2} \ , \end{align*}$$ 因此 $(\text{H-L})$ 满足估计 $(N)$ .
$(\text{L-H})$ 的处理与上述基本一致；但因为 $(\text{N})$ 作为bilinear improvement（可以参考 这篇博客）, 我们要把所有导数损失都转移到同一个 $\phi$ 上，所以 $\lambda\gtrsim 1$ 的情形需要额外处理，i.e. 使用损失系数 $\epsilon/2$ 的Step 1结果. \begin{align*} \|(\text{L-H})_{\mu\gtrsim 1}\|_{L^2([0,1]\times\mathbf{R}^n)}\lesssim & \left(\sum_\mu \left(\sum_{\lambda: 1\lesssim \lambda \ll\mu} \lambda^{\frac{n-1}{2}+\frac{\epsilon}{2}}E[P_\lambda\phi]^{\frac{1}{2}}E[P_\mu\psi]^{\frac{1}{2}}\right)^2\right)^{1/2} \\ \lesssim & \left(\sum_\mu E[P_\mu\psi] \left(\sum_{\lambda: 1\lesssim\lambda\ll\mu} \lambda^{-\frac{\epsilon}{2}}\lambda^{\frac{n-1}{2}+\epsilon}E[P_\lambda\phi]^{\frac{1}{2}}\right)^2\right)^{1/2} \\ \lesssim & \left(\sum_{\mu} E[P_\mu\psi]\right)^{1/2} E[\left\langle D\right\rangle^{\frac{n-1}{2}+\epsilon}\phi]^{1/2} \\ \lesssim & E[\left\langle D\right\rangle^{\frac{n-1}{2}+\epsilon}\phi]^{1/2} E[\psi]^{1/2} \ , \end{align*}
最后 $(\text{H-H})$ 情形下因为对每个 $\mu$ 只有 $O(1)$ 个 $\lambda\sim \mu$ , 反之亦然，于是 $\mu\lesssim 1$ 时 $$\begin{align*} \|(\text{H-H})_{\lambda\sim\mu\lesssim 1}\|_{L^2([0,1]\times\mathbf{R}^n)}\lesssim & \sum_{\lambda\sim\mu \lesssim 1} \lambda^{n/2}E[\phi_\lambda]^{1/2}E[\psi_\mu]^{1/2} \\ \lesssim & E[\phi]^{1/2}E[\psi]^{1/2}\ ; \end{align*}$$ $\mu\gtrsim 1$ 时同理.
综合上述估计可知全局估计 $(N)$ 成立. $\Box$
至此我们得到了本系列博客的主要结果，核心就是physics-frequency同时局部化. 当然我们的关键工具——tube分解还没有证明，这点将在附录中补充；这一系列文章的目的始终在于展示两种分析视角——Fourier decoupling与向量场方法——如何通过几个精妙的想法联结、重塑. So本系列，乃至2024年的博客写作就此完结撒花，迎接2025叭(≧◡≦)